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梯度下降法

梯度下降法是一种广泛应用于优化问题的迭代算法，通过不断调整模型参数使目标函数值逐步减小。其核心思想是沿着目标函数的负梯度方向步进，寻找最优解。具体公式为：

$$x_{k+1} = x_k - \nabla f(x_k)$$

在实际应用中，梯度下降法的收敛速度和最终效果依赖于步长选择和优化策略。为了加快收敛速度，常采用动量项或自适应学习率等方法进行改进。

最速（陡）下降法

最速下降法是梯度下降法的一种变种，采用恒定步长沿着当前点的负梯度方向更新参数。其更新公式与梯度下降法类似，但不考虑动量项或自适应步长。尽管最速下降法的收敛速度较慢，但其实现简单，适用于许多实际问题。

Gradient与Steepest Gradient的变种

为了解决梯度下降法在某些情况下收敛缓慢或无法收敛的问题，研究者提出了多种改进方法。以下是两种常见的变种：

1）坐标轮换法

坐标轮换法是一种处理梯度计算中零点问题的方法。通过轮换目标函数的梯度计算顺序，避免梯度计算过程中出现所有分量同时为零的情况，确保算法能够正常收敛。

2）若$f(x)$在某些点不可微

当目标函数$f(x)$在某些点不可微时，梯度下降法无法直接应用。这种情况下，可以采用插值或近似方法估计不可微点附近的梯度，从而继续优化过程。

例子

假设目标函数$f(x)$在$x_0$处不可微，但其一阶泰勒展开近似为：

$$f(x) \approx f(x_0) + \nabla f(x_0)^T(x - x_0)$$

此时，可以使用梯度近似值$\nabla f(x_0)$代替实际不可微点的梯度，继续进行优化。

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